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Curve di indifferenza in Microeconomia 🏆

### Funzione di Utilità

La funzione di utilità U(X, Y) rappresenta il livello di soddisfazione o utilità che un consumatore ottiene da una combinazione di due beni X e Y. Una tipica funzione di utilità potrebbe essere espressa come:

    \[ U(X, Y) = X^{a} Y^{b} \]

dove a e b sono parametri che determinano l’importanza relativa dei due beni.

### Curve di Indifferenza

Una curva di indifferenza è l’insieme di tutte le combinazioni di X e Y per cui il livello di utilità è costante. Se U(X, Y) = k è un livello di utilità costante, allora la curva di indifferenza può essere scritta come:

    \[ X^{a} Y^{b} = k \]

### Pendenza della Curva di Indifferenza

La pendenza della curva di indifferenza in un punto specifico è data dal rapporto marginale di sostituzione (MRS), che rappresenta il tasso al quale il consumatore è disposto a sostituire un bene con un altro mantenendo lo stesso livello di utilità. Matematicamente, il MRS è dato da:

    \[ MRS_{XY} = -\frac{\partial U / \partial X}{\partial U / \partial Y} \]

Supponiamo che la funzione di utilità sia U(X, Y) = X^{a} Y^{b}. Allora:

    \[ \frac{\partial U}{\partial X} = a X^{a-1} Y^{b} \]

    \[ \frac{\partial U}{\partial Y} = b X^{a} Y^{b-1} \]

Pertanto, il MRS è:

    \[ MRS_{XY} = -\frac{a X^{a-1} Y^{b}}{b X^{a} Y^{b-1}} = -\frac{a}{b} \cdot \frac{Y}{X} \]

### Vincolo di Bilancio

Il vincolo di bilancio rappresenta tutte le combinazioni di beni che un consumatore può acquistare dato il suo reddito I e i prezzi dei beni P_X e P_Y. Il vincolo di bilancio può essere scritto come:

    \[ P_X X + P_Y Y = I \]

### Ottimizzazione

La combinazione ottimale di X e Y si trova dove una curva di indifferenza è tangente al vincolo di bilancio. Questo punto di tangenza implica che il MRS è uguale al rapporto dei prezzi dei due beni:

    \[ MRS_{XY} = \frac{P_X}{P_Y} \]

Sostituendo l’espressione del MRS, otteniamo:

    \[ -\frac{a}{b} \cdot \frac{Y}{X} = \frac{P_X}{P_Y} \]

Da qui possiamo risolvere per trovare le quantità ottimali di X e Y:

    \[ \frac{a}{b} \cdot \frac{Y}{X} = \frac{P_X}{P_Y} \]

    \[ \frac{Y}{X} = \frac{P_X b}{P_Y a} \]

    \[ Y = X \cdot \frac{P_X b}{P_Y a} \]

### Esempio di Calcolo

Supponiamo di voler trovare la quantità ottimale di X e Y con i seguenti parametri:
– a = 0.5
– b = 0.5
– P_X = 2
– P_Y = 1
– I = 10

Il vincolo di bilancio è:

    \[ 2X + Y = 10 \]

Il rapporto dei prezzi è:

    \[ \frac{P_X}{P_Y} = \frac{2}{1} = 2 \]

E il MRS è:

    \[ \frac{Y}{X} = 2 \]

Da cui:

    \[ Y = 2X \]

Sostituendo nel vincolo di bilancio:

    \[ 2X + 2X = 10 \]

    \[ 4X = 10 \]

    \[ X = \frac{10}{4} = 2.5 \]

E quindi:

    \[ Y = 2 \cdot 2.5 = 5 \]

Pertanto, la combinazione ottimale di beni è X = 2.5 e Y = 5.

Queste formule e calcoli mostrano come utilizzare le curve di indifferenza e il vincolo di bilancio per determinare le scelte ottimali del consumatore.