Una funzione è una relazione tra due insiemi, dove ogni elemento del primo insieme (dominio) è associato a un unico elemento del secondo insieme (codominio). La funzione stabilisce una legge che, data una variabile x (variabile indipendente), determina esattamente un valore y (variabile dipendente). Ad esempio, nella funzione f(x) = 2x + 3, per ogni valore di x, si ottiene un valore univoco di y.
Domino e Codominio 🌐
Il dominio di una funzione è l’insieme di tutti i valori possibili che possono essere inseriti nella funzione (valori di x). Il codominio è l’insieme di tutti i valori possibili che possono essere ottenuti dalla funzione (valori di y). Ad esempio, se abbiamo una funzione f(x) = x^2, il dominio potrebbe essere tutti i numeri reali, e il codominio sarebbero tutti i numeri reali non negativi.
Immagine e Controimmagine 🌈
L’immagine di una funzione è l’insieme di tutti i valori che la funzione assume effettivamente. La controimmagine di un elemento del codominio è l’insieme di tutti gli elementi del dominio che mappano a quell’elemento. Ad esempio, se f(x) = x + 3, l’immagine di 5 è 8 (perché 5 + 3 = 8) e la controimmagine di 8 è 5.
Variabile Indipendente e Dipendente 📈
La variabile indipendente è l’input della funzione, generalmente rappresentata da x. Questa è la variabile che scegliamo liberamente. La variabile dipendente è il risultato della funzione, generalmente rappresentata da y. Questa dipende dalla variabile indipendente. Per esempio, in f(x) = 2x + 3, x è la variabile indipendente e y è la variabile dipendente.
Funzione Iniettiva 🔢
Una funzione è iniettiva se elementi diversi del dominio mappano a elementi diversi del codominio. In altre parole, se f(a) = f(b) implica che a = b. Un esempio è la funzione f(x) = 2x, dove ogni valore di x corrisponde a un valore unico di 2x.
Funzione Suriettiva 🔄
Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. Questo significa che il codominio coincide con l’insieme delle immagini della funzione. Un esempio è f(x) = x^3, dove ogni numero reale ha un corrispondente cubo.
Funzione Biunivoca 🔀
Una funzione è biunivoca (o biettiva) se è sia iniettiva che suriettiva. Questo significa che ogni elemento del dominio corrisponde a un elemento unico del codominio e ogni elemento del codominio è l’immagine di un elemento del dominio. Un esempio è f(x) = x + 1, dove ogni x ha un corrispondente unico x+1 e viceversa.
Test Orizzontale 🧮
Il test orizzontale è un metodo per determinare se una funzione è iniettiva, suriettiva o biunivoca. Traccia una linea orizzontale attraverso il grafico della funzione:
– Se la linea orizzontale tocca il grafico in un solo punto, la funzione è iniettiva.
– Se la linea orizzontale tocca il grafico in più punti, la funzione non è iniettiva.
– Se ogni linea orizzontale tocca il grafico almeno una volta, la funzione è suriettiva.
– Per essere biunivoca, deve soddisfare entrambe le condizioni: ogni linea orizzontale tocca il grafico in un solo punto e almeno una volta.
Test Verticale 📊
Il test verticale è un metodo per determinare se un grafico rappresenta una funzione. Traccia una linea verticale attraverso il grafico. Se la linea tocca il grafico in un solo punto, allora il grafico rappresenta una funzione. Se invece tocca il grafico in più punti, allora non è una funzione.
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