- Derivabilità implica continuità:
- Se una funzione è derivabile in un punto, significa che esiste il limite del rapporto incrementale in quel punto. Questo implica che la funzione non ha “buchi” o “salti” nel comportamento locale intorno a quel punto, quindi deve essere continua in quel punto. In altre parole, una funzione derivabile non può avere discontinuità.
- Continuità non implica derivabilità:
- Una funzione può essere continua ma non derivabile. Un classico esempio è la funzione valore assoluto f(x) = |x| in x = 0. È continua in tutto il suo dominio, ma non è derivabile in x = 0 .
- Non continuità implica non derivabilità:
- Se una funzione non è continua in un punto, non può essere derivabile lì. La derivabilità richiede che la funzione sia “liscia” abbastanza da poter calcolare una pendenza (derivata), e una discontinuità rende questo impossibile. Immagina di cercare di trovare la pendenza di una curva che salta improvvisamente; non è possibile calcolare una derivata lì.
Questi concetti sono fondamentali nell’analisi matematica e aiutano a comprendere il comportamento delle funzioni in modo più dettagliato.
