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Disequazioni irrazionali e con valore assoluto 🐛

### Disequazioni Irrazionali

Le disequazioni irrazionali possono essere complesse perché coinvolgono radici, il che introduce restrizioni sui domini delle funzioni. Vediamo più in dettaglio i vari tipi:

#### 1. Disequazione del tipo \sqrt{f(x)} > g(x):

– **Condizione di esistenza**: f(x) \geq 0
– **Risoluzione**: Risolvere f(x) > [g(x)]^2

Esempio: \sqrt{x-1} > 2
– **Condizione di esistenza**: x - 1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1
– **Risoluzione**: x - 1 > 4 \rightarrow x > 5
– **Soluzione**: x > 5, combinata con la condizione di esistenza, la soluzione è x > 5.

#### 2. Disequazione del tipo \sqrt{f(x)} < g(x):

– **Condizione di esistenza**: f(x) \geq 0 e g(x) \geq 0
– **Risoluzione**: Risolvere f(x) < [g(x)]^2

Esempio: \sqrt{2x + 3} < x + 1
– **Condizione di esistenza**: 2x + 3 \geq 0 \rightarrow x \geq -\frac{3}{2} e x + 1 \geq 0 \rightarrow x \geq -1
– **Risoluzione**: 2x + 3 < (x + 1)^2
– Espandendo: 2x + 3 < x^2 + 2x + 1
– Semplificando: 3 < x^2 + 1 \rightarrow 3 - 1 < x^2 \rightarrow 2 < x^2
– x > \sqrt{2} o x < -\sqrt{2}
– **Soluzione**: Combinando con le condizioni di esistenza, la soluzione è x > \sqrt{2}.

#### 3. Disequazione del tipo \sqrt{f(x)} \geq g(x):

– **Condizione di esistenza**: f(x) \geq 0
– **Risoluzione**: Risolvere f(x) \geq [g(x)]^2

Esempio: \sqrt{x + 4} \geq x - 1
– **Condizione di esistenza**: x + 4 \geq 0 \rightarrow x \geq -4
– **Risoluzione**: x + 4 \geq (x - 1)^2
– Espandendo: x + 4 \geq x^2 - 2x + 1
– Semplificando: 0 \geq x^2 - 3x - 3 \rightarrow x^2 - 3x - 3 \leq 0
– Risolvendo la disequazione quadratica: Le radici sono \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}. La parabola è negativa tra le radici.
– **Soluzione**: Combinando con la condizione di esistenza, la soluzione è -4 \leq x \leq \frac{3 - \sqrt{21}}{2}.

#### 4. Disequazione del tipo \sqrt{f(x)} \leq g(x):

– **Condizione di esistenza**: f(x) \geq 0 e g(x) \geq 0
– **Risoluzione**: Risolvere f(x) \leq [g(x)]^2

Esempio: \sqrt{3x - 2} \leq x + 1
– **Condizione di esistenza**: 3x - 2 \geq 0 \rightarrow x \geq \frac{2}{3} e x + 1 \geq 0 \rightarrow x \geq -1
– **Risoluzione**: 3x - 2 \leq (x + 1)^2
– Espandendo: 3x - 2 \leq x^2 + 2x + 1
– Semplificando: 0 \leq x^2 - x + 3 \rightarrow x^2 - x + 3 \geq 0
– **Soluzione**: Combinando con le condizioni di esistenza, la soluzione è x \geq \frac{2}{3}.

### Disequazioni in Valore Assoluto

Il valore assoluto di un numero rappresenta la sua distanza dallo zero sulla retta dei numeri reali. Le disequazioni in valore assoluto devono essere risolte considerando entrambi i casi del valore assoluto (positivo e negativo).

#### 1. Disequazione del tipo |f(x)| < a:

– **Risoluzione**: -a < f(x) < a

Esempio: |2x - 3| < 5
– **Risoluzione**: -5 < 2x - 3 < 5
– Aggiungendo 3 a tutti i membri: -2 < 2x < 8
– Dividendo per 2: -1 < x < 4
– **Soluzione**: -1 < x < 4

#### 2. Disequazione del tipo |f(x)| > a:

– **Risoluzione**: f(x) > a oppure f(x) < -a

Esempio: |x + 2| > 3
– **Risoluzione**: x + 2 > 3 oppure x + 2 < -3
– x > 1 oppure x < -5
– **Soluzione**: x > 1 oppure x < -5

#### 3. Disequazione del tipo |f(x)| \leq a:

– **Risoluzione**: -a \leq f(x) \leq a

Esempio: |x - 4| \leq 2
– **Risoluzione**: -2 \leq x - 4 \leq 2
– Aggiungendo 4 a tutti i membri: 2 \leq x \leq 6
– **Soluzione**: 2 \leq x \leq 6

#### 4. Disequazione del tipo |f(x)| \geq a:

– **Risoluzione**: f(x) \geq a oppure f(x) \leq -a

Esempio: |3x + 1| \geq 4
– **Risoluzione**: 3x + 1 \geq 4 oppure 3x + 1 \leq -4
– 3x \geq 3 oppure 3x \leq -5
– x \geq 1 oppure x \leq -\frac{5}{3}
– **Soluzione**: x \geq 1 oppure x \leq -\frac{5}{3}

### Considerazioni Finali

– **Condizioni di esistenza**: Prima di risolvere le disequazioni irrazionali, è fondamentale verificare le condizioni di esistenza delle radici.
– **Segno delle espressioni**: Nella risoluzione delle disequazioni in valore assoluto, è importante considerare i casi in cui l’espressione all’interno del valore assoluto è positiva o negativa.
– **Controllo della soluzione**: Dopo aver trovato le soluzioni, è sempre una buona pratica verificare se queste soddisfano le condizioni originali della disequazione.