I numeri complessi sono un’estensione dei numeri reali e possono essere rappresentati come coppie di numeri reali. 😊
La forma trigonometrica dei numeri complessi 🔄
Un numero complesso z può essere espresso come z = a + bi, dove a e b sono numeri reali e i è l’unità immaginaria con la proprietà che i al quadrato è uguale a meno uno. 😲
Per rappresentare un numero complesso in forma trigonometrica, si utilizza il modulo e l’argomento del numero complesso. 📏
Il modulo di z è dato da radice quadrata di a al quadrato più b al quadrato. 🧮
L’argomento (o fase) è l’angolo formato dal numero complesso con l’asse reale positivo, ed è calcolato come arctan di b diviso a. 📐
Per determinare correttamente l’angolo theta, è importante considerare il quadrante in cui si trova il punto (a, b):
– Se a > 0 e b >= 0, theta è arctan di b diviso a (primo quadrante).
– Se a < 0, theta è arctan di b diviso a più pi greco (secondo o terzo quadrante).
– Se a > 0 e b < 0, theta è arctan di b diviso a più due pi greco (quarto quadrante).
Quindi, la forma trigonometrica di z è z uguale modulo di z per (coseno dell’argomento più i seno dell’argomento). 🌟
Operazioni con i numeri complessi in forma trigonometrica ➕
Moltiplicazione ✖️
Per moltiplicare due numeri complessi in forma trigonometrica, si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti. 😊
Se z1 è uguale a r1 per (coseno di theta1 più i seno di theta1) e z2 è uguale a r2 per (coseno di theta2 più i seno di theta2), allora il prodotto z1 per z2 è dato da:
Modulo di z1 per modulo di z2 per (coseno di (theta1 più theta2) più i seno di (theta1 più theta2)). 🧮
Divisione ➗
Per dividere due numeri complessi in forma trigonometrica, si dividono i moduli e si sottraggono gli argomenti. 😊
Se z1 è uguale a r1 per (coseno di theta1 più i seno di theta1) e z2 è uguale a r2 per (coseno di theta2 più i seno di theta2), allora il quoziente z1 diviso z2 è dato da:
Modulo di z1 diviso modulo di z2 per (coseno di (theta1 meno theta2) più i seno di (theta1 meno theta2)). 🧮
La formula di Moivre 📏
La formula di Moivre permette di calcolare le potenze di un numero complesso in forma trigonometrica. 😊
Se z è uguale a r per (coseno di theta più i seno di theta), allora z elevato alla n è dato da:
r elevato alla n per (coseno di n theta più i seno di n theta). 🧮
La radice di un numero complesso 🌱
Per trovare la radice n-esima di un numero complesso, si utilizza la seguente formula. 😊
Se z è uguale a r per (coseno di theta più i seno di theta), allora la radice n-esima di z è data da:
la radice n-esima di r per (coseno di (theta più 2k pi greco) diviso n più i seno di (theta più 2k pi greco) diviso n), dove k è un numero intero da 0 a n-1. 🧮
Dalla forma trigonometrica a quella algebrica 🔄
Per convertire un numero complesso dalla forma trigonometrica a quella algebrica, si utilizzano le formule del coseno e del seno. 😊
Se z è uguale a r per (coseno di theta più i seno di theta), allora la sua forma algebrica è:
z uguale a (r per coseno di theta) più (r per seno di theta) i. 🧮
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