### Cos’è un’iperbole?
Un’iperbole è una curva formata da due rami che si avvicinano a delle linee chiamate **asintoti** ma non le toccano mai. Gli asintoti sono linee rette che descrivono la direzione in cui i rami della curva si avvicinano all’infinito.
### L’iperbole equilatera
L’iperbole equilatera è un caso particolare di iperbole. Si chiama “equilatera” perché ha una particolare simmetria. Viene anche chiamata **iperbole rettangolare**. La sua equazione standard è:
![\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1 \]](https://www.matematica.cloud/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47c1c0b7cd727e4406219f0acb10ad6c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Oppure, in forma alternativa, può essere scritta come:
![\[ xy = k \]](https://www.matematica.cloud/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-87fcc96f52a877e20b1c483bd3f7d901_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove 
è una costante.
### Proprietà principali
1. **Assi di Simmetria**: L’iperbole equilatera ha due assi di simmetria, uno orizzontale (asse 
) e uno verticale (asse 
) che si intersecano nel punto centrale chiamato **centro dell’iperbole**.
2. **Asintoti**: Le linee rette a 45 gradi rispetto agli assi (ossia le bisettrici del primo e del terzo quadrante, e del secondo e quarto quadrante) sono gli asintoti dell’iperbole equilatera. In altre parole, le equazioni degli asintoti sono 
e 
.
3. **Forma dei rami**: I rami dell’iperbole si avvicinano sempre di più agli asintoti mentre si allontanano dal centro, ma non li toccano mai. Questo significa che, ad esempio, se tracci una linea orizzontale o verticale, i rami dell’iperbole si curveranno sempre più vicino a queste linee ma senza mai toccarle.
### Come Disegnarla
Per disegnare un’iperbole equilatera:
1. **Disegna gli assi**: Traccia le linee degli assi e che si intersecano al centro.
2. **Disegna gli asintoti**: Traccia due linee che formano un angolo di 45 gradi rispetto agli assi (cioè, la linea e ).
3. **Disegna i rami**: Disegna due curve che si avvicinano agli asintoti ma non li toccano, una nel primo e terzo quadrante e l’altra nel secondo e quarto quadrante.
### Un esempio numerico
Supponiamo che la costante sia 4. Allora l’equazione dell’iperbole diventa:
![\[ xy = 4 \]](https://www.matematica.cloud/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2418fb84e5a959bbbb17a66d263bb5bd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Per trovare punti su questa curva, possiamo scegliere alcuni valori di e calcolare i corrispondenti valori di :
– Se 
, allora 
. Un punto sull’iperbole è (2, 2).
– Se 
, allora 
. Un punto sull’iperbole è (-1, -4).
Questi punti possono essere tracciati sul grafico per vedere la forma della curva.
In sintesi, l’iperbole equilatera è una curva con una simmetria particolare che si avvicina a linee rette chiamate asintoti ma non le tocca mai, e può essere rappresentata con equazioni specifiche che rendono il suo studio più semplice e interessante.
