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La distribuzione binomiale nel calcolo economico 🐆

Ecco tre esempi pratici di applicazioni economiche della distribuzione binomiale, ciascuno con una soluzione dettagliata:

### Esempio 1: Vendite di un Prodotto

**Scenario**: Un’azienda di elettronica sa che la probabilità di vendere un nuovo gadget ad un cliente è del 30%. Durante un evento promozionale, incontrano 10 clienti. Qual è la probabilità di vendere il gadget ad esattamente 4 clienti?

**Soluzione**:
– n = 10 (numero totale di prove, cioè clienti incontrati)
– p = 0.3 (probabilità di successo, cioè vendita)
– k = 4 (numero di successi desiderati)

La probabilità di ottenere esattamente k successi nelle prove n è data dalla distribuzione binomiale:

    \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

Calcoliamo:

    \[ P(X = 4) = \binom{10}{4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]

    \[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = 210 \]

    \[ P(X = 4) = 210 \times (0.3)^4 \times (0.7)^6 \approx 0.2001 \]

Quindi, la probabilità di vendere il gadget a esattamente 4 clienti è circa 20.01%.

### Esempio 2: Controllo Qualità

**Scenario**: Un produttore di lampadine sa che il 5% delle lampadine prodotte sono difettose. Se un ispettore controlla un campione di 20 lampadine, qual è la probabilità che al massimo 2 siano difettose?

**Soluzione**:
– n = 20 (numero totale di lampadine)
– p = 0.05 (probabilità di una lampadina difettosa)
– k \leq 2 (numero massimo di lampadine difettose)

Calcoliamo la probabilità cumulativa:

    \[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]

    \[ P(X = 0) = \binom{20}{0} (0.05)^0 (0.95)^{20} \approx 0.3585 \]

    \[ P(X = 1) = \binom{20}{1} (0.05)^1 (0.95)^{19} \approx 0.3773 \]

    \[ P(X = 2) = \binom{20}{2} (0.05)^2 (0.95)^{18} \approx 0.1884 \]

    \[ P(X \leq 2) \approx 0.3585 + 0.3773 + 0.1884 = 0.9242 \]

Quindi, la probabilità che al massimo 2 lampadine siano difettose è circa 92.42%.

### Esempio 3: Risposta al Questionario

**Scenario**: Un’azienda invia un questionario a 50 clienti con una probabilità di risposta di ciascun cliente del 10%. Qual è la probabilità che almeno 3 clienti rispondano?

**Soluzione**:
– n = 50 (numero totale di questionari inviati)
– p = 0.1 (probabilità di risposta di ciascun cliente)
– k \geq 3 (almeno 3 risposte)

Calcoliamo la probabilità complementare:

    \[ P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) \]

Calcoliamo P(X \leq 2):

    \[ P(X = 0) = \binom{50}{0} (0.1)^0 (0.9)^{50} \approx 0.0052 \]

    \[ P(X = 1) = \binom{50}{1} (0.1)^1 (0.9)^{49} \approx 0.028 \]

    \[ P(X = 2) = \binom{50}{2} (0.1)^2 (0.9)^{48} \approx 0.0724 \]

    \[ P(X \leq 2) \approx 0.0052 + 0.028 + 0.0724 = 0.1056 \]

    \[ P(X \geq 3) = 1 - 0.1056 = 0.8944 \]

Quindi, la probabilità che almeno 3 clienti rispondano è circa 89.44%.