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La posizione reciproca tra una retta e una parabola🛝

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La posizione reciproca tra una retta e una parabola può essere determinata in base a come si intersecano. La retta può essere classificata come:

– Secante: se interseca la parabola in due punti distinti;
– Tangente: se interseca la parabola in un solo punto (due punti coincidenti);
– Esterna: se non interseca affatto la parabola.

Per determinare la posizione reciproca di una retta e una parabola, è necessario trovare i punti di intersezione risolvendo il sistema tra le due curve. Il discriminante dell’equazione risolvente determina la natura dell’intersezione:

– Se il discriminante è maggiore di zero (\Delta > 0), la retta è secante;
– Se il discriminante è uguale a zero (\Delta = 0), la retta è tangente;
– Se il discriminante è minore di zero (\Delta < 0), la retta è esterna.

Le rette tangenti ad una parabola da un punto P possono esistere solo se il punto è esterno alla parabola o coincide con un punto della parabola; se P è interno alla parabola, non esistono rette tangenti.

La procedura generale per trovare le rette tangenti è la seguente:
– Si scrive il sistema parabola-fascio di rette per il punto P(x_0, y_0);
– Si determina l’equazione risolvente;
– Si calcola il discriminante e si pone \Delta = 0.

In particolare, se il punto P appartiene alla parabola, si possono utilizzare le seguenti procedure:
– Per trovare il coefficiente angolare della retta, si utilizzano le formule:
– m = 2ax_0 + b se la parabola ha l’asse parallelo all’asse y;
– m = \frac{1}{2ay_0 + b} se la parabola ha l’asse parallelo all’asse x.
– Si applicano le formule di sdoppiamento effettuando le seguenti sostituzioni:

    \[ \begin{array}{ll} x^2 \rightarrow x_0 x & y^2 \rightarrow y_0 y \\ x \rightarrow \frac{1}{2}(x + x_0) & y \rightarrow \frac{1}{2}(y + y_0) \end{array} \]