📘 In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, il problema delle posizioni tra retta ed ellisse si riduce alla ricerca delle coordinate degli eventuali loro punti di intersezione.
🖊️ Il problema dei punti di intersezione tra una retta e un’ellisse si risolve sostituendo l’espressione della retta nell’equazione dell’ellisse. Si ottiene una equazione di secondo grado con le variabili x e y.
💡 L’equazione dell’ellisse è data da: (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1. La retta è data da: y = mx + q. Sostituendo y nell’equazione dell’ellisse, si ottiene un’equazione in x del tipo: (x^2/a^2) + ((mx + q)^2/b^2) = 1.
✅ Il sistema, nelle variabili x e y, ha grado 2 e di conseguenza ammetterà al massimo due soluzioni. Le eventuali soluzioni sono le coordinate dei punti di intersezione tra la retta ed ellisse nel piano cartesiano.
🔍 Risolvendo tale sistema si possono ottenere vari casi:
1. Nessuna soluzione reale: la retta non interseca l’ellisse.
2. Una sola soluzione reale: la retta è tangente all’ellisse.
3. Due soluzioni reali distinte: la retta interseca l’ellisse in due punti distinti.
📝 In generale, i casi si distinguono come segue:
– Se il discriminante dell’equazione risolvente è maggiore di zero, ci sono due soluzioni reali distinte.
– Se il discriminante è uguale a zero, c’è una sola soluzione reale (retta tangente).
– Se il discriminante è minore di zero, non ci sono soluzioni reali (retta esterna).
📊 Riassumendo:
– Discriminante > 0: Due punti di intersezione.
– Discriminante = 0: Un punto di intersezione.
– Discriminante < 0: Nessun punto di intersezione.
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