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Retta e coniche.Lista di concetti 💫

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Rette
1. Retta passante per 1 punto
– Conoscendo il coefficiente angolare m, sostituire le coordinate del punto in y - y_1 = m(x - x_1).

2. Retta passante per 2 punti
– Sostituire le coordinate dei punti in:

    \[ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \]

3. Rette parallele
– Uguagliare i coefficienti angolari m_1 = m_2.

4. Rette perpendicolari
– Imporre m_1 \cdot m_2 = -1.

5. Circonferenza

    \[ x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 \]

– Centro C = \left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right).
– Raggio r = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 - c}.

6. Retta tangente in un punto R(x_1, y_1) appartenente a una circonferenza
1. Calcolare il centro C della circonferenza.
2. Calcolare il coefficiente angolare m della retta CP.
3. Calcolare l’equazione della retta del fascio di rette per P perpendicolare alla retta CP:

    \[ y - y_1 = -\frac{1}{m}(x - x_1) \]

Coniche
1. Parabola

    \[ y = ax^2 + bx + c \]

– Vertice V = \left(-\frac{b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a}\right).
– Fuoco F = \left(-\frac{b}{2a}, \frac{1 - \Delta}{4a}\right).
– Asse di simmetria x = -\frac{b}{2a}.
– Direttrice y = -\frac{1 + \Delta}{4a}.

2. Ellisse

    \[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

– Se \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1:

    \[ A_1 = (-a, 0), A_2 = (a, 0) \]

    \[ B_1 = (0, -b), B_2 = (0, b) \]

– Se \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1:

    \[ A_1 = (0, -a), A_2 = (0, a) \]

    \[ B_1 = (-b, 0), B_2 = (b, 0) \]

3. Iperbole

    \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

– Se \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1:

    \[ A_1 = (-a, 0), A_2 = (a, 0) \]

– Asintoti y = \pm \frac{b}{a} x.

– Se \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1:

    \[ A_1 = (0, -a), A_2 = (0, a) \]

– Asintoti y = \pm \frac{a}{b} x.

4. Funzione omografica

    \[ y = \frac{ax + b}{cx + d} \]

– Centro O = \left(-\frac{d}{c}, \frac{a}{c}\right).
– Asintoti y = \frac{d}{c} x e y = \frac{a}{c}.