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Retta e coniche.Una mappa 👀

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Retta
1. Equazione generale della retta:
ax + by + c = 0 con a e b entrambi non nulli.

2. Forma esplicita di una retta non parallela agli assi:
y = mx + n con m \neq 0.

3. Equazione di una retta parallela all’asse delle ascisse:
y = h.

4. Equazione di una retta parallela all’asse delle ordinate:
x = k.

5. Coefficiente angolare:
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.

6. Rette per un punto (fascio proprio):
y - y_1 = m(x - x_1) con x = x_1.

7. Retta per due punti:

    \[ \text{Se } x_1 \neq x_2 \text{ e } y_1 \neq y_2: \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \]

    \[ \text{Se } y_1 = y_2: y = y_1 \]

    \[ \text{Se } x_1 = x_2: x = x_1 \]

8. Distanza di un punto da una retta:
d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.

Parabola
1. Definizione:
Luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso (fuoco) e da una retta fissa (direttrice).

2. Equazione:
y = ax^2 + bx + c con a \neq 0.

Ellisse
1. Definizione:
Luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi (fuochi).

2. Equazione canonica con fuochi sull’asse x:
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.

3. Equazione canonica con fuochi sull’asse y:
\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1.

Iperbole
1. Definizione:
Luogo dei punti del piano per i quali è costante il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissi (fuochi).

2. Equazione canonica con fuochi sull’asse x:
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.

3. Equazione canonica con fuochi sull’asse y:
\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1.

4. Iperbole equilatera:
– Riferita agli assi: x^2 - y^2 = a^2.
– Riferita agli asintoti: xy = k.

5. Funzione omografica:
y = \frac{ax + b}{cx + d} con c \neq 0 e ad - bc \neq 0.

Circonferenza
1. Definizione:
Luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso (centro).

2. Equazione:
(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2.

Se la distanza dalla retta al centro della circonferenza è:
– Minore del raggio: secante.
– Uguale al raggio: tangente.
– Maggiore del raggio: esterna.