di: Matematica.cloudPubblicato il:

Somma, prodotto ed equazione di secondo grado 😉

Immagina di avere due numeri misteriosi, chiamiamoli x e y. Questi numeri sono le soluzioni di una sorta di enigma chiamato “equazione di secondo grado”. Adesso, sappiamo due cose su questi numeri:

1. La loro somma (cioè x + y)
2. Il loro prodotto (cioè x \cdot y)

Quello che vogliamo fare è trovare l’equazione di secondo grado a cui questi numeri appartengono. Un’equazione di secondo grado ha la forma generale:

    \[ ax^2 + bx + c = 0 \]

Dove a, b e c sono numeri che determinano l’equazione. Per semplificare, possiamo fare in modo che a = 1. Quindi, l’equazione diventa:

    \[ x^2 + bx + c = 0 \]

Ora, ecco il trucco magico:

– Il numero b (quello che sta davanti alla x) è uguale alla somma dei numeri misteriosi ma con un segno meno davanti: b = -(x + y).
– Il numero c (quello senza x) è uguale al prodotto dei numeri misteriosi: c = x \cdot y.

Quindi, se conosciamo la somma e il prodotto dei due numeri, possiamo scrivere l’equazione come:

    \[ x^2 - (\text{somma})x + (\text{prodotto}) = 0 \]

Facciamo un esempio. Se la somma dei numeri è 5 e il loro prodotto è 6, l’equazione sarà:

    \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]

Ed ecco l’equazione di secondo grado che cercavamo!

Vediamo più dettagliatamente come funziona il tutto con un esempio passo-passo.

### Esempio

Supponiamo di sapere che due numeri misteriosi x e y hanno:

– Somma = 7
– Prodotto = 12

Usiamo queste informazioni per trovare l’equazione di secondo grado.

### Passo 1: Identifica la somma e il prodotto

– Somma x + y = 7
– Prodotto x \cdot y = 12

### Passo 2: Scrivi la forma generale dell’equazione di secondo grado

La forma generale è:

    \[ x^2 + bx + c = 0 \]

### Passo 3: Sostituisci la somma e il prodotto

Come abbiamo detto prima:
– b è uguale alla somma con il segno meno: b = -(x + y) = -7
– c è uguale al prodotto: c = x \cdot y = 12

Quindi, l’equazione diventa:

    \[ x^2 - 7x + 12 = 0 \]

### Passo 4: Verifica le soluzioni

Per essere sicuri che abbiamo fatto tutto correttamente, possiamo risolvere l’equazione e vedere se otteniamo i numeri originali.

L’equazione x^2 - 7x + 12 = 0 può essere fattorizzata come:

    \[ (x - 3)(x - 4) = 0 \]

Quindi, le soluzioni sono:

    \[ x = 3 \]

    \[ x = 4 \]

Se sommiamo questi numeri:

    \[ 3 + 4 = 7 \]

E se li moltiplichiamo:

    \[ 3 \cdot 4 = 12 \]

Come possiamo vedere, le soluzioni corrispondono alla somma e al prodotto che avevamo inizialmente. Quindi, l’equazione x^2 - 7x + 12 = 0 è corretta!

### Riassunto

Per trovare l’equazione di secondo grado conoscendo la somma e il prodotto delle soluzioni, segui questi passi:

1. Scrivi la forma generale dell’equazione: x^2 + bx + c = 0
2. Sostituisci b con la somma con segno meno: b = -(somma)
3. Sostituisci c con il prodotto: c = prodotto
4. Scrivi l’equazione finale.

Ad esempio, se la somma è 7 e il prodotto è 12, l’equazione sarà:

    \[ x^2 - 7x + 12 = 0 \]