Le strategie dominanti di Nash sono un concetto chiave nella teoria dei giochi e costituiscono una parte importante del suo lavoro sull’Equilibrio di Nash. Ecco una spiegazione dettagliata:
#### 1. Strategie Strettamente Dominanti
Una strategia 
è strettamente dominante per un giocatore 
se essa produce un payoff strettamente superiore rispetto a qualsiasi altra strategia, indipendentemente dalle azioni degli avversari:
![\[ u_i(s_i^*, s_{-i}) > u_i(s_i, s_{-i}) \]](https://www.matematica.cloud/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-60034da7ae5f5b5c3b0847e07a603f8b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
per ogni altra strategia 
e per ogni insieme di strategie 
degli altri giocatori.
#### 2. Strategie Debolmente Dominanti
Una strategia è debolmente dominante se produce un payoff almeno uguale a qualsiasi altra strategia, e in almeno un caso produce un payoff strettamente superiore:
![\[ u_i(s_i^*, s_{-i}) \geq u_i(s_i, s_{-i}) \]](https://www.matematica.cloud/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5d9d36c28a85e66a63c46b015642551e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e
per almeno un insieme di strategie degli altri giocatori.
### Applicazioni e Implicazioni delle Strategie Dominanti
#### 1. Dilemma del Prigioniero.Esso è un classico esempio di teoria dei giochi che dimostra come due individui potrebbero non cooperare, anche se è nel loro miglior interesse farlo. Ecco un riassunto del dilemma:
Due prigionieri sono arrestati per un crimine. La polizia non ha prove sufficienti per una condanna pesante, quindi separa i prigionieri e offre a ciascuno lo stesso accordo:
1. Se uno dei prigionieri confessa (tradisce l’altro) mentre l’altro rimane in silenzio, il traditore sarà liberato, mentre l’altro sarà condannato a 10 anni di prigione.
2. Se entrambi restano in silenzio, saranno condannati a 6 mesi di prigione per un reato minore.
3. Se entrambi confessano, saranno condannati a 5 anni di prigione ciascuno.
La scelta ottimale per entrambi sarebbe rimanere in silenzio, ma l’incertezza e la mancanza di fiducia reciproca spesso portano entrambi a confessare, risultando in una condanna maggiore per entrambi rispetto a quella che avrebbero ricevuto se avessero collaborato.
#### 2. Aste
Nelle aste, in particolare le aste di Vickrey (aste al secondo prezzo), la strategia dominante per ogni partecipante è offrire un prezzo pari al proprio valore reale dell’oggetto. Questa strategia garantisce che il vincitore paghi un prezzo giusto senza dover sovrappagare.
#### 3. Teoria dei Contratti
Nella teoria dei contratti, le strategie dominanti possono essere utilizzate per progettare contratti incentivanti che garantiscono che i partecipanti agiscano nel modo desiderato, indipendentemente dalle azioni degli altri.
### Equilibrio di Nash Senza Strategie Dominanti
Non tutti i giochi hanno strategie dominanti. In molti giochi, i giocatori devono considerare le strategie degli altri per trovare il loro miglior corso d’azione. Ecco alcuni concetti e strumenti che vengono utilizzati quando non esistono strategie dominanti:
#### 1. Strategie Pure vs. Strategie Miste
– **Strategie Pure**: Un giocatore sceglie una specifica strategia con certezza.
– **Strategie Miste**: Un giocatore sceglie una strategia basata su una distribuzione di probabilità tra le strategie possibili. L’equilibrio di Nash può essere trovato anche utilizzando strategie miste.
#### 2. Migliore Risposta
La migliore risposta di un giocatore è la strategia che massimizza il suo payoff dato un insieme di strategie degli altri giocatori. L’equilibrio di Nash è raggiunto quando ogni giocatore sta giocando una migliore risposta alle strategie degli altri giocatori.
### Esempio di Equilibrio di Nash Senza Strategie Dominanti
Consideriamo il gioco della battaglia dei sessi, dove due persone devono decidere se andare all’opera o a una partita di calcio. Ogni persona ha una preferenza diversa, ma preferiscono stare insieme piuttosto che andare da soli. Non esiste una strategia dominante, ma ci sono due equilibri di Nash in strategie pure:
1. Entrambi vanno all’opera.
2. Entrambi vanno alla partita di calcio.
### Importanza dell’Equilibrio di Nash
L’Equilibrio di Nash è fondamentale perché fornisce una previsione delle scelte degli individui in situazioni interattive. È ampiamente utilizzato in economia, scienze politiche, biologia evolutiva, e altre discipline per analizzare e prevedere il comportamento strategico.
### Conclusione
Le strategie dominanti e l’Equilibrio di Nash sono strumenti potenti per comprendere le decisioni strategiche in contesti competitivi. Essi offrono insight sul comportamento umano e aiutano a progettare meccanismi e istituzioni che promuovano comportamenti desiderabili.
