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Teorema di l’Hôpital 🧑‍🏫

Il teorema di l’Hôpital è uno strumento fondamentale nell’analisi matematica per risolvere limiti che presentano forme indeterminate. vediamo insieme le ipotesi e la tesi del teorema.

Ipotesi 📜

immaginiamo di avere due funzioni f(x) e g(x) che sono entrambe derivabili su un intervallo aperto I eccetto possibilmente in un punto c in cui entrambe tendono a zero o a infinito quando x tende a c. le ipotesi sono le seguenti:

1. forma indeterminata \frac{0}{0}:

    \[ \lim_{x \to c} f(x) = 0 \quad \text{e} \quad \lim_{x \to c} g(x) = 0 \]

2. forma indeterminata \frac{\infty}{\infty}:

    \[ \lim_{x \to c} f(x) = \pm \infty \quad \text{e} \quad \lim_{x \to c} g(x) = \pm \infty \]

3. le derivate f'(x) e g'(x) esistono ed \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} esiste o è infinito.

Tesi ✍️

se le ipotesi sono soddisfatte, allora:

1. forma indeterminata \frac{0}{0}:

    \[ \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} \]

2. forma indeterminata \frac{\infty}{\infty}:

    \[ \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} \]

in altre parole, possiamo calcolare il limite della funzione data passando al limite del rapporto delle loro derivate.

Esempio guidato 📘

vediamo un esempio di applicazione del teorema di l’Hôpital:

esercizio: calcoliamo

    \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \]

osserviamo che sia il numeratore che il denominatore tendono a zero quando x tende a zero, quindi abbiamo una forma indeterminata del tipo \frac{0}{0}. applichiamo il teorema di l’Hôpital:

calcoliamo le derivate di numeratore e denominatore:

    \[ f(x) = \sin(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \cos(x) \]

    \[ g(x) = x \quad \Rightarrow \quad g'(x) = 1 \]

applichiamo il teorema:

    \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} \]

ora calcoliamo il limite del rapporto delle derivate:

    \[ \lim_{x \to 0} \cos(x) = \cos(0) = 1 \]

quindi, troviamo che:

    \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \]

Altro esempio 📕

consideriamo ora una forma indeterminata del tipo \frac{\infty}{\infty}:

calcoliamo

    \[ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x} \]

sia il numeratore che il denominatore tendono all’infinito quando x tende all’infinito, quindi abbiamo una forma indeterminata del tipo \frac{\infty}{\infty}. applichiamo il teorema di l’Hôpital:

calcoliamo le derivate:

    \[ f(x) = e^x \quad \Rightarrow \quad f'(x) = e^x \]

    \[ g(x) = x \quad \Rightarrow \quad g'(x) = 1 \]

applichiamo il teorema:

    \[ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{1} \]

calcoliamo il rapporto delle derivate:

    \[ \lim_{x \to \infty} e^x = \infty \]

quindi, troviamo che:

    \[ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x} = \infty \]

😊