📐 Definizione di trapezoide:
Un trapezoide è una superficie piana delimitata dal grafico di una funzione f(x) continua e positiva in un intervallo chiuso [a, b], dall’asse x e dalle rette parallele all’asse y di equazioni x = a e x = b.
📏 Divisione dell’intervallo:
Per calcolare l’area di un trapezoide, dividiamo l’intervallo [a, b] in n parti uguali. Ogni parte ha un’ampiezza comune Δx = (b – a) diviso n.
🧮 Plurirettangoli inscritti e circoscritti:
Consideriamo due tipi di rettangoli:
1. Plurirettangolo inscritto: Ogni rettangolo ha per base Δx e per altezza il minimo valore mi della funzione f(x) nel i-esimo intervallo.
2. Plurirettangolo circoscritto: Ogni rettangolo ha per base Δx e per altezza il massimo valore Mi della funzione f(x) nel i-esimo intervallo.
📊 Aree dei plurirettangoli:
Indichiamo con sn l’area del plurirettangolo inscritto e con Sn l’area del plurirettangolo circoscritto:
– sn è la somma di mi moltiplicato per Δx per i che va da 1 a n.
– Sn è la somma di Mi moltiplicato per Δx per i che va da 1 a n.
🔄 Convergenza delle successioni:
Se f(x) è continua e positiva in [a, b], le successioni delle aree sn e Sn convergono verso lo stesso numero quando n tende all’infinito:
– Il limite di sn quando n tende all’infinito è uguale al limite di Sn quando n tende all’infinito.
🏁 Limite e area del trapezoide:
Questo limite rappresenta l’area del trapezoide.
Piattaforma matematica
